В 1932 году Б. В. Картошкин окончил школу фабрично-заводского обучения (ФЗО) в Смоленской области. В 1934 году переехал в Москву, в 1937 году был призван в ряды Красной Армии и по 1940 год служил в войсках Москвы по охране правительства. В 1940 году был демобилизован, в следующем году переведен в Ленинград и мобилизован в ряды Красной Армии.
Во время войны многократно забрасывался в тыл врага в качестве радиста в районы: Дно, Порхов, Старая Русса, Валдай и др.
После войны окончил 10 классов заочной школы (в 1953 году). Был награжден орденом Отечественной войны I степени, медалями «За боевые заслуги», «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией» и др.
После демобилизации в 1961 году в звании старшего лейтенанта работал старшим механиком лаборатории газовой динамики НИИ математики и механики ЛГУ. Одновременно окончил техникум радиоприборостроения. В 70-е годы после переезда лаборатории газовой динамики в Петродворец появились новые возможности развития прикладной науки в рамках Петродворцового газодинамического комплекса, и руководство математико-механического факультета ЛГУ поручило Б. В. Картошкину организацию метрологической службы на факультете. Он организовал работу метрологической службы с большой четкостью, что было чрезвычайно важно для проведения высокоточных научных исследований.