Родился 9 (22) ноября 1906 года в г. Черкассы (ныне Украина) в интеллигентной еврейской семье. В 1923 году семья переехала в Петроград. Александров, получив частные уроки русского языка, поступил на биологическое отделение физико-математического факультета Петроградского университета (окончил — в 1929 году).
В 1929−1930 годах — работал сотрудником Петергофского естественно-научного института.
В 1930-1934 годах — аспирант в Государственном рентгеновском, радиологическом и раковом институте под руководством А. А. Заварзина. Там же работала и жена В. Я. Александрова — Зинаида Ивановна Крюкова. После окончания аспирантуры — старший научный сотрудник, а с 1939 года — заведующий лабораторией экспериментальной биологии и гистологии института. С 1934 года — совмещал эту работу с должностью старшего научного сотрудника Всесоюзного института экспериментальной медицины (ВИЭМ), где работал в Отделе общей морфологии под руководством Д. Н. Насонова.
С июля 1941 года Д. Н. Насонов и В. Я. Александров ушли добровольцами на фронт, где служили в составе 13-й стрелковой дивизии в санитарном взводе медсанбата, занимаясь вопросами хозяйственного обеспечения фронта.
В 1943 году отозван с фронта как доктор наук, работал в Троицке Челябинской области в ветеринарном институте, получив там звание профессора. В 1943 году Д. Н. Насонов и В. Я. Александров получили Сталинскую премию второй степени (100 000 рублей) за написанную в 1940 году книгу «Реакция живого вещества на внешние воздействия», которую передали в Фонд обороны.
После окончания войны Александров переехал в Москву (где короткое время работал в Институте цитологии, гистологии и эмбриологии AH СССР), затем — в Ленинград (из филиала ВИЭМ был создан Институт экспериментальной медицины АМН СССР).
В период событий августовской сессии ВАСХНИЛ 1948 года и цитологического совещания 22 мая 1950 года вступил в противостояние с Т. Д. Лысенко и О. Б. Лепешинской, был причислен к деятелям «реакционного вирховианства». В письме в адрес ЦК КПСС Б. П. Токин обвинял Александрова в создании в институте еврейской масонской ложи и группы сионистского типа. В результате проведенных в институте ВИЭМ кадровых чисток был ликвидирован Отдел общей морфологии, в который входили лаборатории Александрова и Насонова, а последний был снят с поста директора института. Об этих событиях в 1993 году В. Я. Александров написал книгу «Трудные годы советской биологии».
После увольнения занимался переводами (перевёл труд Б. Ромейса «Микроскопическая техника») и опытами в домашних условиях. В 1952 году принят на работу в Ботанический институт AH СССР. С 1955 году руководил группой сотрудников Института цитологии АН СССР. С 1957 году — возглавлял лабораторию цитофизиологии и цитоэкологии Ботанического института АН СССР. В 1960-е годы руководил группой из пяти сотрудников биологического факультета МГУ.
Умер 5 октября 1995 года в Санкт-Петербурге.