Михаил Иванович Квасков родился 20 февраля 1900 года в Москве. В 1906 году он с семьёй переехал в Петербург, где в 1920 году окончил школу.
М. И. Квасков был натуралистом. Ездил в походы-экскурсии в Жихарёво, где ловил тритонов и других «жителей» прудов и озёр.  Работал в эмбриологической лаборатории ЛГУ.
В июле 1941 года он был отправлен на фронт Сабинским РВК. Воевал на Ленинградском фронте. 
Погиб в бою под Ленинградом в районе Пулково в 23 сентября 1941 года.