Родился в 1922 году в улусе Ирхидей Осинского района Усть-Ордынского автономного округа Иркутской области в крестьянской семье.
В 1941 году окончил педагогический рабфак при Бурятском пединституте. В 1942 году ушел на фронт, командовал отделением 123 особой гвардейской Краснознаменной стрелковой бригады Ленинградского фронта, дважды ранен. Он участник прорыва блокады Ленинграда, награжден медалью «За оборону Ленинграда», орденом Отечественной войны II степени.
В 1950 году Е. Е. Тармаханов окончил исторический факультет Ленинградского университета. В 1953 году после защиты кандидатской диссертации приглашен в БГПИ. В 1969 году он успешно защитил докторскую диссертацию, с 1970 года – профессор. В течение 26 лет профессор Е. Е. Тархмаханов заведовал кафедрой истории СССР института. Создал научную школу «Индустриальное развитие национальных районов Сибири». Автор более 200 научных трудов. Много лет был председателем диссертационного совета по защите кандидатских диссертаций по истории Отечества и всеобщей истории при БГУ, членом Совета при ИТИ АН РС, Совета по защите докторских диссертаций при ИГУ, подготовил 25 кандидатов и 3 докторов исторических наук, научный консультант.
Награжден орденами «Дружбы», «Знак Почета», «Чингисхана». Заслуженный деятель науки Российской Федерации и Республики Бурятия, заслуженный работник Просвещения Бур.АССР.