Родился в Ленинграде. Окончил школу в 1941 и сразу же поступил в военно-морское медицинское училище. Училище в августе 1941 было эвакуировано в Омск, учеба была так «спрессована», что уже меньше чем через год, в июне 1942, военный фельдшер Анатолий Меньшаков оказался на Воронежском фронте, в гвардейском минометном дивизионе.
Анатолий Николаевич рассказывал: «Были тяжелые бои под Воронежем, наша часть принимала участие в освобождении Киева, при разгроме немцев на Сандомирском плацдарме, во взятии Берлина, в освобождении Праги. Там и закончил войну».
Анатолий Николаевич – ветеран Великой Отечественной войны, ветеран частей особого риска, ветеран гвардейских минометных частей. Подполковник А. Н. Меньшаков награжден двумя орденами Красной Звезды, орденом Отечественной войны, двумя медалями «За боевые заслуги», медалями «За взятие Берлина» и «За освобождение Праги». Эти высокие воинские награды в конце войны получил юноша, которому едва исполнился 21 год.
После войны до 1951 г. он — слушатель Военно-Морской медицинской Академии, врач на базе подводных лодок в Кронштадте, сотрудник кафедры атомного оружия в медицинской академии. С 1960 г. он возглавляет медико-биологический отдел на атомном полигоне Новой Земли, но вскоре по состоянию здоровья демобилизуется. Работал на кафедре военно-полевой терапии в Институте радиационной гигиены. Главным врачом университетского профилактория А. Н. Меньшаков стал в 1968 году. Он возглавлял его более 30 лет .
«Подвижный, быстрый человек» Санкт-Петербургский университет №2 (3525), январь 27, 2000
Бережной А.Ф. Они сражались за Родину: Универсанты в годы войны и в послевоенные годы. Вып. 2. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1995. С. 88.